lunes, abril 28, 2008

Teorema: Hay un hombre para cada mujer.

Teo. Hay un Hombre para cada Mujer si y sólo si, para cada subconjunto de mujeres la cantidad de hombres que les gustan es mayor o igual al número de mujeres del subconjunto.

(Nota: utilizaremos el signo * como unión de conjuntos.)
DEM. La ida se debe a que si existe un conjunto de chicas al que le gusta menos hombres que el numero de chicas del conjunto, pues una chica es lesbiana o asexual, por lo que no quiere a ningun hombre. Entonces partimos de que a cada mujer le gusta al menos un hombre.

El regreso se hará por inducción sobre el numero de mujeres. Si hubiera una sola mujer (además de que todos estariamos aperrados por ella), pues, le gustaría al menos alguien y tiene la libertad de escoger a quien se le de la gana.
Supongamos que el teorema es válido para m mujeres.
Consideremos un conjunto ordenado de m+1 mujeres. Supongamos que cada mujer i, tiene una lista Si de hombres que le gustan, Si≠ø. Supongamos que el teorema es falso, entonces existe una mujer sin hombre, digamos que es la mujer m+1, entonces el conjunto Sm+1 esta contenido en la unión de los conjuntos Si desde i=1 hasta m, de lo contrario existiria un hombre que no le gusta a ninguna de las anteriores m mujeres y que le gusta a la mujer m+1. Por hipótesis de inducción, si quitamos a la mujer m+1, tenemos que existen un hombre para cada una de las m mujeres. Como el conjunto Sm+1 esta contenido en la unión de los conjuntos Si desde i=1 hasta m, la mujer m+1, comparte gustos con alguna mujer, sin perdida de generalidad podemos decir que es la mujer m, y como |Sm+1*Sm|≥|{m+1,m}|=2, pues podemos escoger un hombre para la mujer m+1, si escogemos a un hombre m+1 distinto al hombre que le tocaba a la mujer m desde un principio, habriamos concluido la prueba. Entonces supongamos que escogimos el mismo, por lo que ahora es la mujer m la que no tiene hombre. De nuevo, si existiera un hombre en la lista de la mujer m que no estuviera en las listas de las otras, lo escogemos y acabamos la prueba. Por lo que comparte gustos con otra mujer, que además es distinta de la mujer m+1, pues |Sm+1*Sm|≥|{m+1,m}|=2. Digamos, reordenando el conjunto de mujeres que la mujer m comparte gustos con la mujer m-1. Por hipótesis, |Sm*Sm-1|≥|{m,m-1}|=2, por lo que de nuevo podemos elegir a un hombre para la mujer m. Si fuera distinto el hombre que elgimos para la mujer m-1, acabariamos la prueba, si no, repetimos el procedimento para la mujer m-1, que, como es finito llega a un final. Es más, a un final feliz.□



Hay muchas razones por las cuales el teorema no se aplica, empezando porque hay más mujeres que hombres, pero bueno, ya saben chicas, ustedes hagan grandes listas de hombres, alguno les debe de tocar. Y hombres, no nos hagamos, ellas nos escogen.

12 comentarios:

El Rafa dijo...

tss pss si. Ellas escojen.

La demostracion es mas confusa que la del de saber mas mas de menos menos.. esta es mas algebraica.

Alguna conjetura topológica o dinámica?

saludos desde CVKA

+Koike-Rado dijo...

mmm... Conjeturo que el conjunto de chicas que me gustan es denso en ninguna parte...

Omar dijo...

No que tenga que ver, pero esta cita dolio:

Plato (ca 429-347 BC)
Mathematics is like checkers in being suitable for the young, not too difficult, amusing, and without peril to the state.

El Rafa dijo...

hijole... la brocna es quela fac y el DeFe es un espacio compacto...

+Koike-Rado dijo...

No veo cual es el problema de que la fac o el DF sean espacios compactos.

Violette dijo...

Afortunadamente mi lista ya es grande =)

Libia dijo...

Same here Violeta!
:D
A ver si es chicle y pega :P

Libia dijo...

Same here Violeta!
:D
A ver si es chicle y pega :P

Rodrigo dijo...

Hermano, te has ganado mi corazón, de verdad. Como aspirante a matemático te lo digo, GRACIAS.

Exiliada dijo...

Yo que uds lo demostraría con una gráfica dirigida, jajaja.

+Koike-Rado dijo...

Era el plan original, pero muchos no saben graficas y menos digraficas, pero se puede y es mas visual.

Libia dijo...

El conjunto de chicas formado por Lorena, Fefa y yo llegamos a la conclusión que tu demostración está mal de entrada por que asumes una babosada, eso se debe a la falta de conocimientos sobre el objeto de estudio, léase, nosotras (buenooo, no literalmeeente).

"una chica es lesbiana o asexual"
???????? Come on man!